Luis Diaz stanget rødtrøyene i føringen etter tolv minutter, og like etter doblet Cody Gakpo. Han bredsidet ballen enkelt i nettet fra tre meter etter å ha fått en fin pasning fra Mohamed Salah.
Tidlig i andreomgangen scoret Salah sikkert fra straffemerket. LASK-keeperen ble stående på strek, men avslutningen var uansett utakbar.
De østerrikske gjestene hadde noen farligheter den siste halvtimen og tvang fram noen solide redninger fra Caoimhin Kelleher i Liverpool-buret.
To minutter på overtid økte Gakpo til 4-0 etter at vertene hadde spilt seg ut av LASK-presset.
Liverpool står med tolv poeng fra fem kamper i pulje E. Det er nok til å ta førsteplassen og være klar for åttedelsfinale på nyåret.
Toulouse er nummer to med åtte poeng etter 0-0 hjemme mot Union Saint-Gilloise. Aron Dønnum spilte fra start for de franske vertene, mens Warren Kamanzi slapp til helt på tampen.
