Vitalij Mykolenko sendte eget lag under like før hvilen, før Jack Harrison avgjorde etter sidebyttet.
Med 1-1 så kampen ut til å gå til omspill, men over fem minutter på overtid kranglet Woodrow inn seiersmålet på en corner.
Målet sendte bortefansen til himmels og Luton videre fra fjerde runde i cupen.
I de øvrige kampene vant Leicester 3-0 over Birmingham, mens Leeds ikke greide mer enn 1-1 mot Plymouth. Brighton tok seg enkelt av Sheffield United med 5-2.
Tidligere lørdag vant Maidstone United, som spiller på nivå seks i det engelske ligasystemet, 2-1 over nivå to-laget Ipswich.
